La néphroïde est une épicycloïde : elle s'obtient comme lieu d'un point M d'un cercle de rayon r roulant sans glisser à l'extérieur d'un cercle de rayon R = 2r. Une construction assez simple permet de simuler le roulement du cercle (c), A coïncidant avec M au départ. Il s'agit d'obtenir, en termes de longueur d'arc, AT = TM :

• tracer le cercle (C) de centre O;
• tracer un rayon OT;
• placer le centre Ω du cercle roulant (c) en tant que symétrique du milieu de [OT] par rapport à T;
• placer un point A sur le cercle (C);
• tracer (AT) coupant le cercle roulant en m;
• soit n le symétrique de m par rapport à (OΩ);
• le point mobile dont on cherche le lieu est M, symétrique de T par rapport à (nΩ) : on a fait en sorte que Tm = AT/2 (triangles homothétiques OAT et ΩmT). Par symétrie, on a Tm = Tn, puis Tn = Mn. D'où, en termes de longueur d'arc : AT = TM.

Allez, roulez...