ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Calculs des paramètres usuels d'un couple statistique à valeurs pondérées       @ programme JavaScript utilisable en tant que couple de variables aléatoires (probabilités)     » cas d'une série à une variable

Une série statistique double (X,Y) étant entrée par la donnée de ses couples ({x_i} _{1≤ i ≤ m} ,{y_j} _{1≤ j ≤ p}) et de leurs effectifs n_i,j, cette série peut s'interpréter comme la donnée d'un couple de variables aléatoires en considérant les fréquences comme des probabilités : la probabilité du couple (x_i ,y_j) est n_i,j/N où N est l'effectif total de la série double (nombre de couples entrés).

Le tableau statistique entré est généralement rectangulaire : m x p. On pourra tester le programme avec l'exemple simple donné ci-dessous ou avec l'exercice proposé sur la page relative aux couples statistiques.

Le programme calcule :

• l'effectif total et la moyenne;

• l'écart moyen arithmétique, la variance, l'écart-type;

• la covariance;

• le coefficient de corrélation  linéaire.

Dans ce programme :

• nx (resp. ny) le nombre de valeurs observées de X (resp. Y). En déclarant (ligne 12) var eff=new Array(ny), on définit une liste de ny+1 éléments eff[0], eff[1], ..., eff[ny]. En JavaScript les index de tableaux (Array) commencent à 0. Ce rang 0 ne sera pas utilisé.

• L'instruction for(i=1;i<=nx;i++){eff[i]=new Array(nx)} (ligne 13) informe le compilateur que chaque élément du tableau précédent est lui-même une liste de nx+1 éléments. En d'autres termes, faisant abstraction des rangs 0, on crée ici une matrice à ny colonnes et nx lignes. On aurait pu préférer nx colonnes et ny lignes. Dans l'exemple ci-dessous, nous avons 6 couples (x_i ,y_j) : le tableau de leurs effectifs est une matrice 2 x 3 (2 lignes, 3 colonnes) dont les éléments sont eff[i][j].

Pour info (calcul de la covariance) de l'exemple ci-dessus  :

Réponses du programme concernant cet exemple :

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>

var x=new Array(), y=new Array(),eff_margi_x=new Array(),eff_margi_y=new Array()
function stat_deux() // programme stat deux variables
{
nx="";ny=""
nx=eval(prompt("Entrez le cardinal de la série X :",nx))
if (nx==null) {return}
ny=eval(prompt("Entrez le cardinal de la série Y :",ny))
if (ny==null) {return}

a="o";equi=1;
a=prompt("Pondération = 1 ? (o/n)",a)   // pondération = 1 ?
if (a==null) {return} else {if(a=="n"){equi=0}};

var eff=new Array(ny)      // ligne 9                
for(i=1;i<=nx;i++){eff[i]=new Array(nx)}      // ligne 10

eff_t=0;test_y=0     // entrée des couples
for(i=1;i<=nx;i++)
{
a="";a=prompt("Entrez x("+i+"):",a)
if (a==null) {return} else {x[i]=eval(a)};
for(j=1;j<=ny;j++)
{
if(test_y==0)  // les valeurs de Y ne sont demandées qu'une seule fois (lorsque i = 1)
{b="";b=prompt("Entrez y("+j+"):",b)
if (b==null) {return} else {y[j]=eval(b)}
}
else
{b=y[j]}
e="";e=eval(prompt("Donnez maintenant l'effectif du couple ("+a+","+b+") :",e))
if (eff==null) {return} else {eff[i][j]=e;eff_t=eff_t+e}
} // fin boucle j
test_y=1;
}  // fin boucle i

for(i=1;i<=nx;i++)   // eff marginaux X
{
eff_margi_x[i]=0
for(j=1;j<=ny;j++)
{
eff_margi_x[i]=eff_margi_x[i]+eff[i][j]
}
}

for(j=1;j<=ny;j++)  // eff marginaux Y
{
eff_margi_y[j]=0
for(i=1;i<=nx;i++)
{
eff_margi_y[j]=eff_margi_y[j]+eff[i][j]
}
}

moy_x=0; //calcul de E(X)
for(i=1;i<=nx;i++)
{
moy_x=moy_x+eff_margi_x[i]*x[i]
}
moy_x=moy_x/eff_t;
moy_x_arr=sign(moy_x)*Math.floor(Math.abs(moy_x)*1000+0.5)/1000  // arrondi au milllième

moy_y=0; //calcul de E(Y)
for(j=1;j<=ny;j++)
{
moy_y=moy_y+eff_margi_y[j]*y[j]
}
moy_y=moy_y/eff_t;
moy_y_arr=sign(moy_y)*Math.floor(Math.abs(moy_y)*1000+0.5)/1000  // arrondi au milllième
alert("L'effectif total de la série double donnée est : "+eff_t+"\n"+"La moyenne de X est : "+moy_x_arr+"\n"+"La moyenne de Y est : "+moy_y_arr)

em=0;Vx=0;   //calcul écart moyen arithmétique, V(X) et écart-type
for(i=1;i<=nx;i++)
{
em=em+eff_margi_x[i]*Math.abs(x[i]-moy_x);
Vx=Vx+eff_margi_x[i]*x[i]*x[i]
}
Vx=Vx/eff_t-moy_x*moy_x;sx=Math.sqrt(Vx);em=em/eff_t;
V_arr=Math.floor(Math.abs(Vx)*1000+0.5)/1000  // arrondi au milllième
s_arr=Math.floor(Math.abs(sx)*1000+0.5)/1000
em_arr=Math.floor(Math.abs(em)*1000+0.5)/1000
alert("La variance de X est "+V_arr+"\n"+"L'écart-type de X est : "+s_arr+"\n"+"L'écart moyen arithmétique de X est : "+em_arr)

em=0;Vy=0;   //calcul écart moyen arithmétique, V(Y) et écart-type
for(j=1;j<=ny;j++)
{
em=em+eff_margi_y[j]*Math.abs(y[j]-moy_y);
Vy=Vy+eff_margi_y[j]*y[j]*y[j]
}
Vy=Vy/eff_t-moy_y*moy_y;sy=Math.sqrt(Vy);em=em/eff_t;
V_arr=Math.floor(Math.abs(Vy)*1000+0.5)/1000  // arrondi au milllième
s_arr=Math.floor(Math.abs(sy)*1000+0.5)/1000
em_arr=Math.floor(Math.abs(em)*1000+0.5)/1000
alert("La variance de Y est "+V_arr+"\n"+"L'écart-type de Y est : "+s_arr+"\n"+"L'écart moyen arithmétique de Y est : "+em_arr)


moy_xy=0;      // calcul de la covariance = E(XY) - E(X)E(Y) et du coeff de corrélation
for(i=1;i<=nx;i++)
{
for(j=1;j<=ny;j++)
{
moy_xy=moy_xy+x[i]*y[j]*eff[i][j]
}}
moy_xy = moy_xy/eff_t;
cov_xy=moy_xy-moy_x*moy_y
cov_xy_arr=sign(cov_xy)*Math.floor(Math.abs(cov_xy)*1000+0.5)/1000   // arrondi au milllième
r=cov_xy/(sx*sy);
r_arr=sign(r)*Math.floor(Math.abs(r)*1000+0.5)/1000
a$="Faible présomption de linéarité entre X et Y."
if(Math.abs(r)>=0.866)
{a$="Forte présomption de linéarité entre X et Y."}

alert("La covariance de (X,Y) est "+cov_xy_arr+"\n"+"Le coefficient de corrélation est : "+r_arr+"\n"+a$);

}  // fin stat_deux()

function sign(x)  // le signe de x est 1 si positif, 0 si nul, -1 si négatif
{
if(x==0){return 0} else {if (x>0) {return 1} else {return -1}}
}

</SCRIPT>